导数定义略,同高数.
解析的定义:
点的任意领域内可导→点解析
区域内可导→区域解析↔区域内每一点都解析
不解析→奇点
解析函数之间的加减乘除,复合,求导均保持其解析特性.
可导:
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)可导↔u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微且满足柯西−黎曼方程(C−R方程):
$
\left{
\begin{array}{l}
\frac {\partial u}{\partial x}=\frac {\partial v}{\partial y}\
\frac {\partial u}{\partial y}=-\frac {\partial v}{\partial x}
\end{array}
\right.
$
此时有: f′(z)=∂x∂u+i∂x∂v
推导过程见:图解复微分算子及其共形性和保角性，复可微的或全纯的条件：柯西黎曼方程及雅可比矩阵【锦南】
解析:
由上面提到的区域内可导→区域解析可得:
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域内解析↔u(x,y)和v(x,y)在D内可微且满足柯西−黎曼方程(C−R方程)
解题:
题目常见u,v函数一般为基础函数及其变形,具有无限阶可导特性,故满足一阶可微;因此在解析的推导中,只要证明满足C-R方程即可.
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指数函数
ez=exeiy=ex(cosy+isiny)
在复平面上处处可导解析,导数为(ez)′=ez
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对数函数
Lnz=ln∣z∣+iArg(z)(多值函数)
若对其中的Arf(z)取主值arg(z),则有Arg(z)=arg(z)+2kπ,可得:
Lnz=ln∣z∣+i(arg(z)+2kπ)(多值函数)
对数的主值函数:
lnz=ln∣z∣+iarg(z)(单值函数)
ln(z)在原点及负实轴之外处处可导解析;其导数为:[ln(z)]'=\frac {1}
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幂函数
ab=ebLna(a=0),zb=ebLnz(z=0);
在原点及负实轴之外处处可导解析,导数为:[z^b]'=bz^
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三角函数
sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}
二者在复平面内解析,其导数为:(sinz)′=cosz,(cosz)′=−sinz
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双曲函数
shz=2ez−e−z,cosz=2ez+e−iz
前者是奇函数,后者是偶函数.
二者在复平面内解析,其导数为:(shz)′=chz,(chz)′=−shz