本节定理/公式推导见:
复变函数的积分、柯西定理和留数定理（上）
复积分定义略.
转复积分为线积分:
∫Cf(z)dz=∫abf[z(t)]z′(t)dt
性质:
- 加减乘除
- 若在C上,∣f(z)∣≤M,C的长为L,则:∣∫Cf(z)dz∣≤∫C∣f(z)∣dz≤ML
$
\oint\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz=
\left{
\begin{array}{l}
2\pi i,n=0\
0,n\neq 0
\end{array}
\right.
$
条件:
解析要求:无
路径要求:C是以z0为圆心,任意半径的圆周
n为整数
$
\oint_Cf(z)dz=0
$
条件:
解析要求:f(z)在单连通区域D内解析
路径要求:C为D内任一正向简单闭曲线
推论:
解析区域内,函数积分与路径无关
闭路变形原理略,原理同下
将柯西积分定理进行扩展,将曲线C拆分为多条曲线,多条曲线共同围成一个解析区域,同样有总的复积分为0,即最外圈曲线积分等于内部曲线积分之和(均取正向):
$
\oint_Cf(z)dz=\Sigma_{k=1}^n\oint_{C_k}f(z)dz
$
条件:
解析要求:f(z)在D内解析,C与Cn围成的区域全包含于多联通解析区域D
路径要求:Cn为C内的简单闭曲线,互不相交互不包含
解题:
在题目所给区域在C内除了某几个点之外处处解析时,可以通过构造以奇点为圆心,半径足够小的圆周Cn,然后可以运用公式.
由一点得整个复积分.
$
f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz
$
条件:
解析要求:f(z)在D内解析
路径要求:C为D内任一正向简单闭曲线,z0为C内任意一点
推论:
-
平均值定理
$
f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0{2\pi}f(z_0+re)d\theta
$
$
f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_1}\frac{f(z)}{z-z_0}dz-\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_2}\frac{f(z)}{z-z_0}dz
$
其中C2在C1内部
$
f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz
$
条件:
解析条件:f(z)在C围成的闭区域D上解析
路径条件:C为任一正向简单闭曲线,z0为C内一点
n为正整数
调和函数定义: ϕ(x,y)有:∂x2∂2ϕ+∂y2∂2ϕ=0
一函数在D内解析↔函数的实部和虚部都是D内的调和函数
若f(z)=u+iv在D内解析,则u,v互为共轭调和函数
三种方法的基本逻辑都是通过C-R方程和调和函数定义来求解共轭.
- 偏积分法
由∂x∂u=∂y∂v得:v=∫∂x∂udy;
由∂x∂v=−∂y∂u得:v=∫∂y∂udx;
二式联立消去常量可得.
- 线积分法
通过求v的全微分dv=∂y∂vdy+∂x∂vdx=∂x∂udy−∂y∂udx得:
v=∫x0,y0)(x,y)∂x∂udy−∂y∂udx+c
作合理路径(如横平竖直)可计算v.
- 不定积分法
对于f(z)本身,有:f′(z)=ux+ivx=ux−iuy=vy+ivx
取f′(z)=ux−iuy=U(z)或f′(z)=vy+ivx=V(z)
则f(z)=∫U(z)dz或f(z)=∫V(z)dz
即可通过求f'(z)得到f(z).