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复变第四章
复数的极限定义略.
复数列{αn}收敛⟺实数列{an},{bn}同时收敛(αn=an+bn)
复数项级数∑n=0∞αn(αn=an+ibn)收敛⟺级数∑n=0∞an 与∑n=0∞bn 同时收敛
级数收敛的必要条件是limn→∞αn=0
复数项级数绝对收敛与条件收敛定义与关系同实数项级数.
复数项级数 ∑n=1∞αn 绝对收敛⟺实数项级数∑n=1∞an与∑n=1∞bn 都绝对收敛.
若级数 ∑n=1∞∣αn∣收敛,则∑n=1∞αn 也收敛
解题:
复变函数项级数,收敛域,发散域定义类似实变函数,略.
定义:∑n=0∞cn(z−z0)n
类似实变函数级数.
同样类似实变函数级数,这里有比值法,根值法等方法.
\text{对于幂级数 }\sum_{n=0}^\infty c_nz^n\text{,如果其系数 }c_n\text
- 比值法:
limn→∞∣∣∣∣cncn+1∣∣∣∣=ρ
- 或根值法
limn→∞n∣cn∣=ρ
则其收敛半径为:
R=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ρ1,+∞,0,0<ρ<+∞,ρ=0,ρ=+∞.
(若幂级数有缺项时,不能直接套用公式求收敛半径)
- 线性运算(建立在两个幂级数的收敛圆交集之内)
∑n=0∞(αan+βbn)zn=α∑n=0∞anzn+β∑n=0∞bnzn
- 乘除法
f(z)∙g(z)=∑n=0∞(anb0+an−1b1+⋯+a0bn)zn
\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n+\cdots}
设当 ∣ξ∣<r 时,f(ξ)=∑n=0∞anzn,当 ∣z∣<R 时 ξ=g(z)解析且∣g(z)∣<r,
则当∣z∣<R时,f[g(z)]=∑n=0∞an[g(z)]n
f(z)=∑n=0∞anzn是收敛圆内的解析函数:
- 逐项可导,收敛半径不变:
f'(z)=\sum_{n = 0}^\infty na_nz^
- 逐项可积,收敛半径不变:
\int_0^zf(z)dz=\sum_{n\operatorname{=}0}^\infty\frac{a_nz^{n\operatorname{+}1}}
如果函数 f(z)在圆域 D:∣z−z0∣<R 内解析,则可以唯一地展开成幂级数:
f(z)=∑n=0∞cn(z−z0)n
其中
cn=n!f(n)(z0),n=0,1,2,⋅⋅⋅
解题:
- 直接法
直接求解上式中的cn
- 间接法
利用常见幂级数的展开式进行运算,将目标函数展开
ez=1+z+2!z2+3!z3+⋯+n!zn+⋯,∣z∣<+∞
sinz=z−3!z3+5!zn−⋯+(−1)n(2n+1)!z2n+1+⋯,∣z∣<+∞
cosz=1−2!z2+4!z4−...+(−1)n(2n)!z2n+...,∣z∣<+∞
1+z1=1−z+z2−⋅⋅⋅+(−1)nzn+⋅⋅⋅,∣z∣<1
1−z1=1+z+z2+⋅⋅⋅+zn+⋅⋅⋅,∣z∣<1
(1+z)21=1−2z+3z2+⋅⋅⋅+(−1)nnzn−1+⋅⋅⋅,∣z∣<1
ln(1+z)=z−2z2+3z3−⋯+(−1)nn+1zn+1+⋯,∣z∣<1
形如∑n=−∞+∞Cn(z−z0)n的级数称为洛朗级数
其中z0,cn是复常数,cn称为级数的系数.
可将洛朗级数拆分为正幂项(含常数项)和负幂项:
∑n=0∞cn(z−z0)n=c0+c1(z−z0)+⋯+cn(z−z0)n+⋯
∑n=1∞C−n(z−z0)−n=z−z0C−1+(z−z0)2C−2+⋯+(z−z0)nC−n+⋯
如果f(z)在圆环域D:R1∣z−z0∣<R2内系欸下,则在D内f(z)课唯一地展开为洛朗级数:
f(z)=∑n=−∞∞cn(z−z0)n
其中,cn=2πi1∮C(ξ−z0)n+1f(ξ)dξ,n=0,±1,±2,⋯,C为D内围绕点z0的任意一条正向简单闭曲线.
解题:
同泰勒级数,直接法+间接法.