P154
积分变换的定义:
若
F(α)=∫abf(t)⋅k(t,α)⋅dt
即有
f(t)k(t,α)F(α)
则称f(t)为像原函数,F(α)为像函数,k(t,α)为核函数
将上面对于积分变换的定义式中,积分范围(a,b)→(−∞,+∞),核函数k(t,ω)=e−jωt(此处的j就是平时复数中的i,使用符号不同而已),则可得傅里叶变换:
F(w)=∫−∞+∞f(t)⋅e−jwtdt
实际工程中,t,ω通常表示时间和频率,傅里叶变换可将时域转化为频域.
一个周期函数如果满足狄利克雷条件:
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;(2)在一个周期内至多有有限个极值点,
则有:
f(t)=2a0+∑n=1∞(ancosnwt+bnsinnwt)
其中:
a0=T2∫−T/2T/2fT(t)dt,
an=T2∫−T/2T/2fT(t)cosnωTtdt=a−n,n=1,2,3,⋅⋅⋅,bn=T2∫−T/2T/2fT(t)sinnωTtdt=−b−n,n=1,2,3,⋅⋅⋅.
或者写成指数形式:
fT(t)=∑n=−∞∞cnejnωTt
其中:
c0=2a0,cn=2an−jbn,n=±1,±2,⋅⋅⋅
也可以写成:
cn=T1∫−2T2TfT(t)e−jnwTtdt
故级数也可以写成:
fT(t)=T1∑n=−∞∞[∫−2T2TfT(t)e−jnwTtdt]ejnwTt
对非周期函数的一部分(要研究的部分)进行周期延拓,当取的这一部分的长度趋于无穷大,则可得非周期函数的傅里叶级数.
非周期函数需要满足的条件:
(1)f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件(2)f(t)在(−∞,+∞)上绝对可积,即∫−∞+∞∣f(t)∣dt收敛
则有傅里叶积分公式:
f(t)=2π1∫−∞+∞[∫−∞+∞f(t)e−jwtdt]ejwtdw
对上式,称其中的
F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt
为傅里叶变换,记作F[f(t)].
对应地,有:
f(t)=2π1∫−∞+∞F(ω)ejωtdω
称为傅里叶逆变换,记作F−1[F(ω)].
则称F(ω)为 f(t)的像函数,称 f(t)为 F(ω)的像原函数.
δ函数(单位脉冲函数)定义:
δ(t){∞,t=00,t=0
同时有:
∫−∞+∞δ(t)dt=1
Heaviside函数(单位阶跃函数)定义:
u(t)={0,1,t<0,t>0,
显然有:dtdu=δ(t),或者反过来写∫−∞tδ(t)dt=u(t)
- 筛选性质
对任一连续函数f(t),∫−∞+∞δ(t)f(t)dt=f(0)
更一般地,有
∫−∞+∞δ(t−t0)f(t)dt=f(t0)
- 导数性质
∫−∞+∞f(t)δ′(t)dt=−f′(0)
- 缩放性质
δ(at)=∣a∣1δ(t)
- 偶函数
对于δ函数:
δ(t)↔1
δ(t−t0)↔e−iωt0
1↔2πδ(ω)
eiω0t↔2πδ(ω−ω0)
对于单位阶跃函数:
F[u(t)]=iω1+πδ(ω)
对正余弦函数:
F[cosω0t]=π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]
F[sinω0t]=πi[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]
F[αf1(t)+βf2(t)]F−1[αF1(ω)+βF2(ω)]=αF[f1(t)]+βF[f2(t)]=αF1(ω)+βF2(ω),∣=αF−1[F1(ω)]+βF−1[F2(ω)]=αf1(t)+βf2(t),
F[f(t−b)]=e−jωbF(ω)
F(ω−ω0)=F[ejω0tf(t)]
F[f′(t)]=jωF(ω)
F′(ω)=F[−jtf(t)]
tnf(t)↔jnF(n)(w)
更一般地,
F[f(n)(t)]=(jω)nF(ω),n=1,2,⋅⋅⋅
F(n)(ω)=F[(−jt)nf(t)],n=1,2,⋅⋅⋅
F[∫−∞tf(t)dt]=iω1F(ω).
F[f(at)]=∣a∣1F(aω),a=0 为常数
基本逻辑是背常见公式,然后依据性质进行计算.
定义:
要求:两函数在(−∞,+∞)上有定义,则其卷积为
f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ
(1)交换律:f1(t)∗f2(t)=f2(t)∗f1(t)(2)结合律:[f1(t)∗f2(t)]∗f3(t)=f1(t)∗[f2(t)∗f3(t)](3)分配率:[k1f1(t)+k2f2(t)]∗f3(t)=k1[f1(t)∗f3(t)]+k2[f2(t)∗f3(t)](4)dtd(f1∗f2)=f1∗dtdf2=dtdf1∗f2(5)卷积不等式:∣f1(t)⋆f2(t)∣⩽∣f1(t)∣⋆∣f2(t)∣(6)平移性质:f1(t−α)⋆f2(t−β)=(f1⋆f2)(t−α−β)(7)坐标放缩性质:f1(at)⋆f2(at)=∣a∣1(f1⋆f2)(at)
f(t)∗δ(t)=f(t)
$
f'(t)=f'(t)\delta(t)=f(t)\delta'(t)
$
$
f(t)*u(t)=\int_{-\infty}^t f(t)dt
$
可见可以用脉冲函数和阶跃函数的卷积操作来等价于导数和积分.
F[f1(t)⋆f2(t)]=F1(ω)F2(ω)F[f1(t)f2(t)]=2π1[F1(ω)⋆F2(ω)]