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定义:
将积分变换定义式:
F(α)=∫abf(t)⋅k(t,α)⋅dt
中有(a,b)→(0,+∞),k(t,s)=e−st时,可得拉普拉斯变换公式:
F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt
同样地,F(s)称为像函数,f(t)称为像原函数.
可见,拉普拉斯变换只考虑t=0之后的信号.
定义:
F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt
拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系:
L[f(t)]=F[f(t)u(t)e−βt].
其中s=β+jω.
函数u(t)为拉普拉斯变换的单位函数.
拉普拉斯变换存在的条件:
(1)在t⩾0的任一有限区间上分段连续;(2) 当 t→+∞时,f(t)的增长速度不超过某一指数型函数,即存在常数 M>0及c0⩾0,使得∣f(t)∣⩽Mec0t,0⩽t<+∞(8.1.4)成立,则(i) 函数 f(t)的拉普拉斯变换在 Re(s)>c0 上存在,而且 L[f(t)]的积分表达式绝批敛;(ii)像函数 F(s)在 Re(s)>c0 上解析,且有 F′(s)=L[−tf(t)],其中 c0 称为f(t)的增长指数.
$
\begin{aligned}
&脉冲,阶跃函数:\
&&&\delta(t)\longleftrightarrow 1\
&&&u(t)\longleftrightarrow \frac{1}{s}\
&基本函数:\
&&&1\longleftrightarrow \frac{1}{s}\
&&&e^{at}\longleftrightarrow \frac{1}{s-a}\
&&&t^{m}\longleftrightarrow \frac{m!}{s^{m+1}}\
&&&t{m}e\longleftrightarrow \frac{m!}{{(s-a)}^{m+1}}\
&&&\sin at\longleftrightarrow \frac{a}{s2+a{2}}\
&&&\cos at\longleftrightarrow \frac{s}{s2+a{2}}\
\end
$
L[αf1(t)+βf2(t)]=αL[f1(t)]+βL[f2(t)],L−1[αF1(s)+βf2(s)]=αL−1[F1(s)]+βL−1[F2(s)].
L[f(t−τ)]=e−sτF(s),τ⩾0 为常数.
L[eatf(t)]=F(s−a),Re(s−a)>c0.
L[f′(t)]=sF(s)−f(0)
F′(s)=L[−tf(t)]
一般地,有:
L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0),n=1,2,⋯
F(n)(s)=L[(−t)nf(t)],n=1,2,⋅⋅⋅
L[∫0tf(t)dt]=s1F(s)
∫s∞F(s)ds=L[tf(t)]
一般地,有:
L⎣⎢⎢⎢⎡n次∫0tdt∫0tdt⋯∫0tf(t)dt⎦⎥⎥⎥⎤=sn1F(s)n次∫s∞ds∫s∞ds⋯∫s∞F(s)ds=L[tnf(t)]
L[f(ct)]=c1F(cs),c>0,为常数.
当函数满足t<0时,f1(t)=f2(t)=0,则可将卷积公式携程拉普拉斯变换的形式:
L−1[F1(s)⋅F2(s)]=f1(t)⋆f2(t)
f(t)=2πj1∫β−j∞β+j∞F(s)estds,t>0
反演积分的计算方法:
2πj1∫β−j∞β+j∞F(s)estds=∑k=1nRes[F(s)est,sk],
即
f(t)=∑k=1nRes[F(s)est,sk],t>0