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两个线圈耦合时,记其电感量为L1L2,互感系数为M,则有自感:
Ψ11=L1i1,Ψ22=L2i2
有互感:
Ψ12=Mi2,Ψ21=Mi1
则整个线圈的磁通链(磁通链即磁通量)为
Ψ1=Ψ11±Ψ12=L1i1±Mi2
$
\Psi_{2}=\pm\Psi_{21}+\Psi_{22}=\pm Mi_{1}+L_{2}i_
$
若两电流相对于同名段流入/流出方向相同,则为同向耦合,上式中正负号为正;若方向相反,则为反向耦合,上式中正负号为负.
耦合因数k的定义:
k=defL1L2M⩽1
当k≈1时,称为全耦合(紧耦合的极端情况);当k≈0时,称为无耦合(疏耦合的极端情况).该概念对后续作用不大,了解即可
在相量形式中,用ZM=jωM表示互感的阻抗,其中ωM称为互感抗.
耦合电感的串联分为同向串联和反向串联.即看两电感同名端方向是否相同,下图为反向串联.
Z=Z1+Z2=(R1+R2)+jω(L1+L2−2M)
Z=Z1+Z2=(R1+R2)+jω(L1+L2+2M)
在耦合电感有一端相连时,将其进行去耦等效,等效为两个原来位置的只有自感的电感,和额外的一个耦合等效电感,如下图.
三个电感的等效电感分别为:
( 支路 3)L3=±M( 同侧取“+”,异侧取“−”)( 支路 1)L1′=L1∓M( 支路 2)L2′=L2∓M
(支路3即为额外的支路)
本节的基本电路:
本电路有三种求解方法:
- 直接列电路方程求解
- 对原边和副边分别有等效电路
- 去耦等效
两侧的回路电流方程:
$
\begin{aligned}
\begin{cases}
&(R_{1}+\mathrm{j}\omega L_{1})\dot{I}{1}+\mathrm{j}\omega M\dot{I}=\dot{U}{1}\
&\mathrm{j}\omega M\dot{I}+(R_{2}+\mathrm{j}\omega L_{2}+Z_{L})\dot{I}_{2}=0
\end{cases}
\end
$
等效电路如下:
记:
Z11=R1+jωL1为一次回路阻抗
Z22=R2+jωL2+ZL为二次回路阻抗
ZM=jωM为互感抗
则上式可写为:
Z11I˙1+ZMI˙2ZMI˙1+Z22I˙2=U˙1(−次侧)=0(二次侧)
则可得一次电路中的电流:
(这里使用解线性方程组的思想,待补充)
I˙1=Z11−ZM2Y22U˙1=Z11+(ωM)2Y22U˙1=ZiU˙1
式中−ZM2Y22=(ωM)2Y22称为引入阻抗,是二次回路总阻抗反映到一次侧的等效阻抗;其性质与Z22相反(即容性变感性,感性变容性).
则可用上式表示副边侧的电流电压:
I˙2U˙2=−Z22ZMI˙1=−Z1I˙2=Z22ZMZ1I˙1
或者从二次等效电路来分析:
I˙2=−Z22ZMZ11+(ωM)2Y22U˙1=−Z22+(ωM)2Y11ZMU˙1/Z11=−Zeq+ZLU˙oc
其中同样地,(ωM)2Y11为一次回路反映到二次回路的引入阻抗.
理想化的两个理想化条件:
-
无损耗(线圈无内阻)
此时磁通链方程为:
{Ψ1=L1i1+Mi2Ψ2=Mi1+L2i2
-
全耦合(即k=1)
此时磁通链比,电压比方程为:
Ψ2Ψ1=u2u1=L2L1(常数)
理想变压器的特性:
记n=N2N1=L2L1为两电感线圈的变比,则:
u1=nu2
i1=−n1i2
Z11,=I˙1U˙1=−n1I˙2nU˙2=n2ZL