定义：
在正弦信号作用下，系统的输出稳态分量与输入量复数之比.
G(jω)=U(jω)Yss(jω)=Umej0Ymejφ(ω)=UmYmejφ(ω)
拆成幅值和角度的形式：
G(jω)=∣G(jω)∣ej∠G(jω)
频率特性就是把传递函数的s代换为jw（虚轴）的特例：
G(jω)=Xr(jω)Xss(jω)=G(s)∣s=jω=a0(jω)n+a1(jω)n−1+...+an−1(jω)+anb0(jω)m+b1(jω)m−1+...+bm−1(jω)+bm
解题时，给出传递函数求频率特性亦是此方法
重要。
在极坐标复平面上画出ω值由零变化到无穷大时的G(jω)矢量，矢端形成的曲线。
绘制方法：
但实际上考试不可能用这些，后续看传递函数特性可以直接画大致
重要。
横坐标为lg(ω) 分度，不均匀直接标注ω，单位为rad/s；幅频特性的纵坐标对数幅值，均匀刻 度，单位是分贝(dB）；相频特性的纵坐标为相角值，均匀刻度，单位是度(°）。
伯德图一般使用同一个横坐标
ω变化10倍称为十倍频程
用L(ω)简记对数幅频特性，也成为增益
用φ(ω)简记对数相频特性
横坐标：相角φ(ω)，线性分度
纵坐标：幅值20logA(ω)，线性分度
把传递函数分解为实部虚部。
G( jω)=K
∣G(jω)∣∠G(jω)=U2(ω)+V2(ω)=K=arctgU(ω)V(ω)=arctgK0=0°
G(jω)=KL(ω)=20 lg K
\mathrm{G}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{1}{\mathrm{Ts}+1}$$$$\mid\mathrm{G}\left(\mathrm{j}\omega\right)\mid=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{T}^2\omega^2+1}}\quad\angle G\left(j\omega\right)=-arctg\quad(T\omega)
G(jω)=jω1=ω1e−j2π
∣G (jω)∣∠G(jω)=ω1=arctg0−ω1=−90°
L(ω)φ(ω)=−20lgω=−90°
G(\mathrm{~j}\omega)=\mathrm{j}\omega=\omega\mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{\pi}{2}}$$$$\begin{aligned}\mid\text{G ( j )}\mid&=0\\\\\angle G\left(j\omega\right)&=arctg\quad\frac{\omega}{0}=90°\end{aligned}$$$$\begin{aligned}L(\omega)&=20\lg\omega\\\varphi(\omega)&=90^{\circ}\end{aligned}
G(s)=1+\tau s$$$$\begin{aligned}&\mid\mathrm{G}\left(\mathrm{j}\omega\right)\mid=\sqrt{\tau^{2}\omega^{2}+1}\\\\&\angle G\left(j\omega\right)=\arctan\tau\omega\end{aligned}
\begin{aligned}&L(\omega)=20\lg\sqrt{1+\tau^{2}\omega^{2}}\\&\varphi(\omega)=\arctan\tau\omega\end{aligned}$$
一阶微分环节和惯性环节对称
#### 二阶微分环节
$$G(s)=1+2\zeta\tau s+\tau^{2}s^{2}$$
二阶微分环节和震荡环节对称
### 震荡环节
$$G(s)=\frac{1}{\tau^{2}s^{2}+2\zeta\tau s+1}=\frac{\omega_{\mathrm{n}}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{\mathrm{n}}s+\omega_{\mathrm{n}}^{2}}
G(\mathrm{~j}\omega)=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\tau\omega}$$$$\begin{aligned}L(\omega)&=0\\\varphi(\omega)&=-57.3\tau\omega\end{aligned}$$
## 系统开环频率特性的绘制
### Nyquist图的绘制
将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式，则
幅频特性=组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积；
相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。
绘制步骤：
1. 求ω=0时， A(0)、 j(0)；
2. 求ω= ∞时， A(∞)、 j(∞)；
3. 补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)
1. 求解方法：将频率特性分解为实部和虚部，使其中一个等于零，求解交点
4. 根据A(ω)、 j(ω) 的变化趋势，画出Nyquist图的*大致形状*
#### 一般形状
考虑通用的频率特性公式：$$\mathrm{G(j\omega)=\frac{K(1+j\omega\tau_{1})(1+j\omega\tau_{2})...(1+j\omega\tau_{m})}{(j\omega)^{\nu}(1+j\omega T_{1})(1+j\omega T_{2})...(1+j\omega T_{n-\upsilon})}\quad}\quad\mathrm{n>m}
0 = 00 = ∞A(0)=Kφ(0)=0°A (∞)=0φ(∞)=−(n−m)×90°
0 = 00 = ∞A(0)=∞φ(0)=−90°A (∞)=0φ(∞)=−(n−m)×90°
0 = 00 = ∞A(0)=∞φ(0)=−180°A (∞)=0φ(∞)=−(n−m)×90°
系统的开环传递函数如果包含有v个积分环节，则
Nyquist曲线的：
- 起点：幅角为-v90°的无穷远处
- 终点：原点，相角为－(n－m)×90°
将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式，则
幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和
相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和
- 幅频曲线的特点
- 最低频段的斜率取决于积分环节的数目v斜率为－20vdB/dec，可近似为：
- L(w)=20lgK-20vlgw
- 当ω＝1 rad/s时，L(ω)=20lgK
- 对数幅频特性为一系列折线，折线斜率的变化点为各环节的转折频率
- 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定：
- 对惯性环节：- 20dB/dec
- 振荡环节： - 40dB/dec
- 一阶微分环节：+20dB/dec
- 二阶微分环节：+40dB/dec
依据上述特性，绘制方法：
参考视频
设S平面上的封闭曲线包围了复变函数F（S）的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过F（S）的任一零点和极点，当复变量S沿封闭曲线顺时钟方向移动一周时，在F（S）平面上的映射曲线逆时钟包围坐标原点P-Z=N周。
设F(s)=1+G(s)H(s)，在P-Z=N中，P是开环传递函数的右半平面极点数，Z是闭环传递函数的右半平面极点数，N是奈奎斯特曲线绕原点圈数。若系统稳定，则Z=0,也就是N=P。
如果在S平面上，S沿乃奎斯特回线顺时钟移动一周时，在F（S）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转N=P周，则系统是稳定的
G\left(s\right)H\left(s\right)=F\left(s\right)-1$$映射曲线围绕原点的情况相当于G（S）H（S）的封闭曲线围绕（-1，j0）的运动情况。
#### 应用奈奎斯特判定系统稳定性的基本步骤和方法
- 令S=jω带入G（S）H（S），得到开环频率特性。
- 画出$\omega:0^+\to +\infty$对应的映射曲线
- 画出$\omega:-\infty\to +0^-$对应的映射曲线
- 画出对应于大半圆对应的部分
- 实际物理系统 n>=m
- n>m时 G（S）H（S）趋于零
- n=m时 G（S）H（S）为常数
- 应用乃奎斯特判据判定系统稳定性
- G(S)H(S)平面上的映射曲线由上述（2）、（3）、（4）三部分组成封闭曲线，如果这条封闭曲线按逆时钟旋转(-1，j0)点N周，G(S)H(S)在右半平面有P个极点，则可推知F(S)在右半平面的零点数，也即闭环传递函数右半平面的零点数为：Z=P-N。若N=P，则Z=0，系统是稳定的。
#### 开环传递函数在虚轴上有开环极点时的乃奎斯特判据
要造线越过。
#### 采用逆极坐标的乃奎斯特判据
考虑$$\frac{1}{G\left(j\omega\right)H\left(j\omega\right)}
当ω从零变化到无穷大得到的函数关系图称为逆极坐标图。
闭环系统稳定的充要条件是：当ω从-∞变化到+∞，逆极坐标图的乃氏曲线按逆时钟方向包围（-1，j0）点的次数为N，N等于G(S)H(S)在S平面右半平面的零点数。
伯德图可以看作是奈奎斯特图的变形，因此，通过观察伯德图在特定区域穿越零点的情况，可以得知稳定性。
相频特性曲线上的穿越：
- 正穿越：对应于对数相频特曲线当ω增大时从下向上穿越－180°线(相角滞后减小 )
- 负穿越：对应于对数相频特性曲线当ω增大时，从上向下穿越－180°线( 相角滞后增大)
若系统开环传递函数m个位于右半平面的特征根，则当在L(ω)>0 的所有频率范围内，对数相频特性曲线j(ω)( 含辅助线 )与-180°线的正负穿越次数之差等于m/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。
相对稳定性是由特征方程离虚轴最近的根决定，即由离和虚轴的距离s决定
-
时域相对稳定性
-
频域相对稳定性
- 稳定边界：(-1,j0)
- 稳定程度：到(-1,j0)的距离
-
增益交界频率ωc：
- G(jw)H (jw)轨迹与单位圆交点处的频率
- 也即是L(jw)与0分贝线的交点的频率
-
相位交界频率ωg：
- G(jw)H(jw)轨迹与负实轴交点处的频率
- φ (jw)与-π线的交点处的频率
相位裕量γ :在增益交界频率wc上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量
幅值裕量（增益裕度）Kg :在相角交界频率 wg上,到达稳定边界需要附加的增益，即幅频特性|G(jwg)H(jwg)|的倒数
假设本身稳定，观察还有多远变得不稳定
重点：
映射定理，奈奎斯特稳定性判据（虚轴是否存在开环极点情况讨论）
奈氏回线
N=P-Z含义解释；
对数频率特性稳定判据；
wc和wg定义，相位裕量和幅度裕量定义及计算公式；
wc在幅频特性折线图上的计算方法；
伯德图的绘制，映射定理，奈奎斯特稳定性判；奈氏回线；N=P-Z含义；
对数频率特性稳定判据；增益交界频率，相位交界频率，相位裕量，幅值裕量；