P99
定义:
若f(z)在z0处不解析,但在其某个去心邻域内解析,则称z0为f(z)的孤立奇点;在这个解析的环域内,可以将f(z)展开为洛朗级数:
f(z)=∑n=1∞(z−z0)nc−n+∑n=0∞cn(z−z0)n
该展开后续用于孤立奇点的分类.
若洛朗展开式中不包含(z−z0)的负幂项(即这个洛朗级数实质上是泰勒级数),则称该奇点为可去奇点.
可去奇点的充要条件:
limz→z0f(z)=α(有限复数)
若洛朗展开式中只含有限多个(z−z0)的负幂项,且其中最高次幂为(z−z0)−m,则称该极点为m级极点.
极点的充要条件:
z→z0limf(z)=∞
m级极点的充要条件:
f(z)=(z−z0)m1φ(z),其中,φ(z)在 z0 解析且 φ(z0)=0
若洛朗展开式中含有无穷多个(z−z0)的负幂项,则称其为本性奇点.
本性奇点的充要条件:
limz→z0f(z)不存在,也不为∞
定义:
设函数f(z)在z0的邻域内解析,且有f(z0)=0,则称z0为零点,若此处f(z)有泰勒展开式:
f(z)=cm(z−z0)m+cm+1(z−z0)m+1+⋯,cm=0
则称其为m级零点.
m级零点的充要条件:
f(z0)=f′(z0)=⋯=f(m−1)(z0)=0,而f(m)(z0)=0
一个不恒为零的解析函数,其零点是孤立的.
若P(z),Q(z)分别为z0处的m级,n级零点,则
P(z)⋅Q(z)为z0处的(m+n)级零点;
记f(z)=Q(z)P(z),可得:
$
f(z)为\begin{cases}
(m-n)级零点,&m>n, \
可去奇点,&m=n, \
(n-m)级极点,&m<n.
\end
$
将∞理解为一个点即可,其他性质一样,可以作变换t=z1来处理.
定义:
设z0是f(z)的孤立奇点,f(z)在圆环域D内解析,则称积分
2πi1∮cf(z)dz
为f(z)在z0处的留数;其中C为D内围绕点z0的任一正向简单闭曲线.也记作
Res[f(z),z0]
可知,留数同时也是圆环域内f(z)的洛朗展开中次数为-1的负幂项的系数c−1.
解题:
- 可去奇点的留数为0
- 若z0是f(z)的m级极点,有公式可以求留数:
$
c_{-1}=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{ z \to z_{0} }[(z-z_{0}){m}f(z)]
$
- 若f(z)=Q(z)P(z),P(z0)=0,Q(z0)=0,则
$
Res[f(z),z_{0}]=\frac{P(z)}{Q'(z)}|{z=z{0}}
$
由上面的c−1公式,结合留数定义式,使其中f(z)=(z−z0)n+1g(z),则可得高阶导数公式.
解析区域内，一曲线的积分是其包围区域内所有孤立奇点的留数∗2πi的求和.
∮Cf(z)dz=2πi∑k=1nRes[f(z),zk]
定义:
Res[f(z),∞]=2πi1∮C−f(z)dz
其中C为圆环域R<∣z∣<+∞内绕 z=0 的任一正向简单闭曲线
即
Res[f(z),∞]=−2πi1∮Cf(z)dz=−c−1
同时有
Res[f(z),∞]=−Res[f(z1)⋅z21,0]
f(z)在所有奇点处的留数之和为0.
∑k=1nRes[f(z),zk]+Res[f(z),∞]=0
解题:
运用第二留数定理,当zk数量很多或者很难算的时候,通过计算无穷远点处留数间接计算.