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本章讨论的电源都是正弦交流电源.
网络函数H(jω)定义为:
H( jω)=defE˙sj( jω)R˙k( jω)
其中R˙k(jω)为输出端口k的响应;Esj˙(jω)为输入端口j的激励.二者都可以是电压或者电流相量.
当k=j时,网络函数就是阻抗或导纳,当k=j时,网络函数则称为转移函数.
网络函数为一复值,它的模∣H(ω)∣为两个正弦量的比值,其与频率的特性称为幅频特性;它的幅角φ(jω)=arg[H(jω)]是两个正弦量的相位差(相移),它和频率的关系称为相频特性.
电路图:
电路的阻抗表示为:
Z(jω)=R+j(ωL−ωC1)
频率特性:
φ(jω)=arctan(RωL−ωC1)∣Z(jω)∣=cos[φ(jω)]R
可知电路会有三种情况:
当ω=ω0时,称为电路谐振,此时有以下特性:
- φ(jω0)=0
- Z(jω0)=R为最小值,此时电流I(jω0)为最大值:
I(jω0)=RUs(jω0)
- 电抗电压UX(jω0)=0
- 无功功率Q(jω0)=0
由第一点可知电路谐振的条件为:
Im[Z(jω0)]=X(jω0)=ω0L−ω0C1=0
或写成
ω0=LC1f0=2πLC1
定义品质因数Q(注意这里不是无功功率):
Q=defRω0L=ω0CR1=R1CL
则可用Q值表示电容电感电压:
UL( jω0)=UC( jω0)=QUs( jω0)
特性具体公式不咋重要,就一个带宽好考
常用η=ω0ω,即ω=ηω0表示频率，即η=1时电路谐振.
以电阻电压为输出变量，则网络函数表示为
HR(jη)=U˙s(jω)U˙R(jω)=R+j(ωL−ωC1)R=1+jQ(η−η1)1
(不用背)
定义:
带宽BW是满足下面式子的频域范围:
∣HR(jη)∣⩾21=0.707(设定的指标)
上式取等号时(即两个临界频率点,带宽的上下界),有
Q(η−η1)=±1
可据此求BW上下界.
通带的BW为:
BW=ωj2−ωj1=Qω0或BW=Qf0
电路如下图.
电路的导纳为:
Y(jω0)=G+j(ω0C−ω0L1)
电路谐振的条件为
Im[Y(jω0)]=0
则可得谐振时有
ω0=LC1或f0=2πLC1
电路谐振时的特性:
- 输入导纳最小Y(jω0)=G+j(ω0C−ω0L1)=G,或称输入阻抗最大Z(jω0)=R
- 电压最大U(\omega_0)=\begin{array}{cc}|Z(\mathrm{j}\omega_0|I_s=RI_s\end
- I˙L+I˙C=0
- 品质因数Q=ω0LG1=Gω0C=G1LC
若在工程中考虑实际电感线圈有电阻,则有第三种谐振电路:
该电路分析思路和上一种类似.
电路导纳为
Y(jω0)=jω0C+R+jω0L1=jω0C+∣Z(jω0)∣2R−j∣Z(jω0)∣2ω0L
加上谐振条件Im[Y(jω0)]=0可得:
ω0C−∣Z(jω0)∣2ω0L=0
解得:
ω0=LC11−LCR2
可知只有当1−LCR2>0,即R<CL时才能发生谐振.
谐振时输入导纳为:
Y(jω0)=∣Z(jω0)∣2R=LCR
本节重解题,没有新知识.解题思路为利用谐振来过滤/保留某个频率的波,通过谐振条件和目标频率来反解出需要的元件参数.
本节在后面非正弦信号那章会用到,和上述解题思路一样