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本章使用拉普拉斯变换,将线性动态电路的时域变换转化为频域的变化,并通过对于频域的运算电路来计算目标响应,最后通过拉普拉斯反变换来求得响应的时域表达式,以此避免了直接在时域中计算所遇到的微分方程求解问题.
拉普拉斯变换的东西在复变函数有深入研究,这里简要介绍.本章不需要十分深入的使用拉普拉斯变换,只需要掌握常见函数的拉普拉斯变换/逆变换,以及基本性质,然后进行变换,求解,逆变换即可.
对于一个定义在[0,∞)的函数f(t),其拉普拉斯变换式F(s)定义为:
F(s)=∫0∞f(t)e−stdt
其中s是复频率,F(s)称为象函数,f(t)称为原函数/象原函数.可见拉氏变换是一个将时域函数转化为频域函数的变换.这个变换考虑的范围是从0开始的时间,也就是说不需要考虑t=0之前的状态,同时需要t=0时的初始状态.
相反地,有拉普拉斯逆变换:
f(t)=2πj1∫c−j∞c+j∞F(s)estds
其中c为正的有限常数.
通常用L[]和L−1[]来表示拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换.
这里搬运一下复变函数记的部分.
$
\begin{aligned}
&脉冲,阶跃函数:\
&&&\delta(t)\longleftrightarrow 1\
&&&\varepsilon(t)\longleftrightarrow \frac{1}{s}\
&基本函数:\
&&&1\longleftrightarrow \frac{1}{s}\
&&&e^{at}\longleftrightarrow \frac{1}{s-a}\
&&&t^{m}\longleftrightarrow \frac{m!}{s^{m+1}}\
&&&t{m}e\longleftrightarrow \frac{m!}{{(s-a)}^{m+1}}\
&&&\sin at\longleftrightarrow \frac{a}{s2+a{2}}\
&&&\cos at\longleftrightarrow \frac{s}{s2+a{2}}\
\end
$
L[αf1(t)+βf2(t)]=αL[f1(t)]+βL[f2(t)],L−1[αF1(s)+βf2(s)]=αL−1[F1(s)]+βL−1[F2(s)].
L[f(t−τ)]=e−sτF(s),τ⩾0 为常数.
L[eatf(t)]=F(s−a),Re(s−a)>c0.
L[f′(t)]=sF(s)−f(0)
F′(s)=L[−tf(t)]
一般地,有:
L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0),n=1,2,⋯
F(n)(s)=L[(−t)nf(t)],n=1,2,⋅⋅⋅
L[∫0tf(t)dt]=s1F(s)
∫s∞F(s)ds=L[tf(t)]
一般地,有:
L⎣⎢⎢⎢⎡n次∫0tdt∫0tdt⋯∫0tf(t)dt⎦⎥⎥⎥⎤=sn1F(s)n次∫s∞ds∫s∞ds⋯∫s∞F(s)ds=L[tnf(t)]
这一部分讲的是如何对于复频域的电路列电路方程.
频域中,基尔霍夫定律仍然成立.
对任一节点对任一回路∑I(s)=0∑U(s)=0
VCR也仍然成立.
U(s)=RI(s)
电阻的运算电路相比于原来并没有变化.
电感,电容的运算电路都有两种,一种是串联一种是并联,一般都用串联那种.
电感的运算电路(右):
注意这里的电源是非关联参考方向.
U(s)=sLI(s)−Li(0−)
I(s)=sL1U(s)+si(0−)
电容的运算电路(右):
U(s)=sC1I(s)+su(0−)
$
I(s)=sCU(s)-Cu(0_{-})
$
耦合电感的运算电路(右):
在将函数变成频域函数之后,它会是一个有理分式的样子如下:
F(s)=D(s)N(s)=b0sn+b1sn−1+⋯+bna0sm+a1sm−1+⋯+am
这个式子没法通过直接的变换来求解逆变换,所以需要将其拆分为简单的分式,再进行逆变换.本节讲述的就是分式分解的方法.本节比较细节,建议还是看课本.
上式中分子次数m必定小于等于分母次数n.若n>m,则F(s)已经是真分式;若n=m,则需要做
F(s)=A+D(s)N0(s)
其中A为常数,反变换回时域就是Aδ(t),然后下一步就只需要处理真分式D(s)N0(s).
D(s)=0的根有三种情况:单根,共轭复根,重根.记其根为p1,p2,…,pn.
此时F(s)可以展开为
F(s)=s−p1K1+s−p2K2+⋯+s−pnKn
可以把上式继续变化为分母为D(s)的式子,但是使用公式更方便.
单根情况下,有公式:
K1=[(s−p1)F(s)]s=pi(i=1,2,3,⋯,n)
然后对其求极限可得K1;
或者有另一个公式:
Ki=D′(s)N(s)∣s=pi(i=1,2,3,⋯,n)
这里的公式实际上和上一种情况一样,不知道为什么课本要写成两种情况.
K1=[(s−α−jω)F(s)]s=α+jω=D′(s)N(s)∣s=α+jω
K2=[(s−α+jω)F(s)]s=α−jω=D′(s)N(s)∣s=α−jω
当D(s)=0有q重根时,公式为:
K11=(s−p1)qF(s)∣s=p1K12=dsd[(s−p1)qF(s)]∣s=p1K13=21ds2d2[(s−p1)qF(s)]∣∣∣∣∣s=p1............K1q=(q−1)!1dsq−1dq−1[(s−p1)qF(s)]∣∣∣∣∣∣s=p1